Guy Brousseau

« Si un homme peut diviser, tout le reste sera facile parce que tout le reste est impliqué dedans » déclarait Pacioli au 15^ième siècle comme le rappelle David Block[1]. Cette opération multiforme et omniprésente est aujourd’hui indispensable dans de nombreux secteurs professionnels et c’est seulement à ce tire qu’elle a pu être aujourd’hui être considérée comme élémentaire. Ce n’était pas le cas au 18^ième siècle où D’Alembert pouvait l’apprendre tardivement (3 ans avant son entrée à l’Académie si ma mémoire est bonne).

Il est vrai que la notion a encore évolué. Mais le concept de « division » reste aujourd’hui toujours aussi fondamental dans tous les secteurs des mathématiques de la scolarité la plus longue, et chacun de ces secteurs dévoile à son propos des aspects nouveaux. A fur et à mesure de la construction de nouvelles structures, naturels, rationnels,  réels, complexes, quaternions,…, matrices, p-addiques… la question de l’inversion de certaines opérations fait apparaître des opérations nouvelles aux propriétés différentes, que l’on appelle néanmoins « division ».

Ces habitudes économisent du vocabulaire, mais pour les élèves elles provoquent des obstacles didactiques difficiles à surmonter. Les connaissances des élèves sur ce concept ne cessent de s’enrichir tout au long de la scolarité. S’il est jugé commode de conserver une même appellation, « la » division change fréquemment de significations, elle est constamment à redéfinir, ce qui rend son enseignement complexe. De nombreuses études didactiques ont exploré la multiplicité des opérations et des conceptions.

Les notes publiées dans ce dossier témoignent de nos efforts pour concevoir un processus – une véritable « aventure épistémologique » – qui suscite l’élucidation de ces difficultés par des rencontres victorieuses avec des situations appropriées.

Les recherches du CREM au cours des années 60-70 ont renouvelé la conception de l’enseignement de la division. Cette mathématisation de la division à l’aide des applications linéaires était une approche nouvelle, elle instituait la notion de fonction comme un objet mathématique élémentaire. En fait l’introduction de l’étude des fonctions au primaire était un projet principal des réformes du moment. Un article de Lucienne Félix (1967)[2], publié sur ce site à l’occasion de ce dossier 12, marque la nature de nos préoccupations durant cette période. Lucienne Félix y montre l’importance de l’aspect fonctionnel de la division et relate une tentative de matérialiser l’idée de fonction à l’aide d’une « machine » (entrée/sortie). Les expérimentations ont mis en évidence que cet aspect fonctionnel constitue un obstacle pour les élèves.

Nous avons essayé d’en tirer parti dans « Rationnels et décimaux » (réalisé en 1973, publié en 1987) qui est en fait la quête d’une structure mathématique confortable pour tous les usages familiers de la division. La méthode s’est avérée plus adéquate, motivante, enrichissante et… économique en efforts. Car, la connaissance pratique des algorithmes adaptés par nos réflexions ergonomiques, s’en est trouvée améliorée contrairement à ce que l’on aurait pu craindre.

Nous consacrerons deux dossiers à rassembler les notes et les publications du COREM sur ce sujet.

Sommaire du Dossier n° 12 :   La division euclidienne (1970-77)

1.         Division euclidienne dans les entiers et remarques pédagogiques  1970   en ligne depuis le 26 octobre 2012 (accessible à partir du texte n° 4)

2.         La division euclidienne (2)  1970   en ligne depuis le 26 octobre 2012 (accessible à partir du texte n° 4)

3.         La division euclidienne 1972            en ligne depuis le 05 octobre 2012

4.         La division euclidienne aux cours élémentaire et cours moyen 1972  en ligne depuis le 26 octobre 2012

5.        Qui dira 20 : fiche d’accompagnement du film :  Les élèves peuvent établir des théorèmes  La division, tourné à l’école Michelet en 1973 par la TVS,  dans la série « atelier de pédagogie », diffusé en 1980,  en ligne depuis le 05 octobre 2012, accessible à partir du texte n° 3)

6.         Peut-on améliorer le calcul des produits des nombres naturels ? 1973  en ligne depuis le 17 janvier 2011

7.         Algorithme de la division 1977  en ligne depuis le 26 octobre 2012 (accessible à partir du texte n° 4)

8.         Liens et compléments bibliographiques

Aperçu d’un second dossier (à venir) sur la division euclidienne (après 1977) :

9. Représentations et didactique du sens de la division 1987 in Didactique et acquisition des connaissances scientifiques ; 17 p

10. Les composantes contextuelles des « représentations » de la division chez  les élèves et la  classification des problèmes 1987 ; 22 p

11. Analyse d’une situation de division au CM1 1992  Entretien retranscrit ; 3 p

12. A propos de l’enseignement du calcul 2000  Notes pour la commission de réflexion sur l’enseignement ; 11 p

13. Calcul humain des multiplications et divisions de nombres naturels 2003 ; 22 p

14. Courte histoire de l’enseignement du calcul élémentaire à la plume 2004 Document de travail ; 2 p

15. Le calcul à la plume des multiplications et des divisions élémentaires 2007  en ligne sur le site ARDM

[1] Rapportée par Smith (1954 : 132); David Block REPARTIR Y COMPARAR, La enseñanza de la división entera en la escuela primaria (à paraître).

[2] Lucienne Félix ; La notion de fonction dans l’enseignement élémentaire ; Cahier de liaison du Centre de Recherche pour l’enseignement des Mathématiques, bulletin n° 3 (février 1967) ; CRDP Bordeaux.