Guy Brousseau

Dossier n°13 : Les cours de Statistique du COREM  (à destination des enseignants et des chercheurs en Didactique des Mathématiques)

Présentation

Ce dossier réunit  une partie des cours et les manuels de Statistique[1] qui ont été rédigés à l’intention des participants du COREM (étudiants du DEA et chercheurs en Didactique des mathématiques, enseignants à l’école Michelet, collaborateurs techniques). Les textes qui le composent réorganisent les savoirs de la statistique selon une transposition, certes inachevée[2], mais originale, qui reflète des visées propres aux travaux du COREM.

D’une part, à court et à moyen terme, il s’agissait en interne de faire utiliser les méthodes statistiques les mieux adaptées aux tâches du COREM et d’organiser cet usage comme une pratique habituelle. En effet, ces méthodes ne valent que dans la mesure où les connaissances de ceux qui les utilisent sont adéquates. De même qu’une boussole indique la direction du nord mais ne garantit pas d’arriver où on veut aller, les statistiques sont des clés inutiles à qui ne possède pas la serrure qu’elles ouvrent.

D’autre part, le projet ambitionnait des expérimentations à visées plus étendues que le fonctionnement du COREM. Il était prévisible à l’époque, que la façon d’étudier l’enseignement à l’aide des statistiques allait se développer puis se banaliser, et que  ce nouveau rapport à l’école aurait une influence sur la façon de la gérer. Etudier la pratique des statistiques dans la conduite d’une école, était de ce fait aussi indispensable que d’autres sujets d’études plus classiques en didactique. Toutefois, par principe déontologique, le COREM s’est toujours tenu à distance des promotions pédagogiques et de l’ingénierie de développement. Pour les statistiques comme pour tout autre domaine, les travaux du COREM ne préfiguraient donc pas une généralisation directe pour des usages ordinaires, mais se donnaient pour objectif de préciser ce qui était nécessaire, possible, ou dangereux. Il s’agissait d’éclairer, sur des bases scientifiques, les décisions relevant d’une diversité de méthodes (et non pas d’en promouvoir une seule, qui serait optimale) ; mais aussi de faire avancer l’opinion publique au sujet de l’enseignement des mathématiques, d’installer une « culture didactique » partagée par la population (celle des lettrés comme celle du grand public).

Dans ce cadre, le projet envisageait :

-       une contribution au développement des divers usages des statistiques dans la conduite du système éducatif et dans son étude ;

-       une « culture » statistique technique et scientifique, indispensable à la coopération de ceux qui prennent en charge les différents aspects de l’enseignement ;

-       une « culture » statistique consistante constituant une référence épistémologique et mathématique adéquate à l’ensemble du cursus scolaire.

Dans ces travaux, les statistiques  sont considérées comme objet d’apprentissage pour les élèves ; comme moyen pour les enseignants d’améliorer et de gérer l’enseignement ; comme « résumé » de faits observables pour les gestionnaires et les décideurs ; comme méthode scientifique pour la recherche sur les phénomènes didactiques et la compréhension du fonctionnement de l’enseignement ; et enfin comme instrument de contrôle de l’instruction obligatoire par la société.

1) Les instruments « ordinaires » d’une activité technique et scientifique.

Il s’agissait de soutenir par les statistiques les activités quotidiennes des professeurs (préparation de situations, corrections des devoirs, recueil d’informations diverses sur l’activité des élèves comme par exemple la comparaison de méthodes de résolutions ou de résultats).

L’argumentation statistique devait entrer aussitôt que possible dans les habitudes des étudiants en Didactique des Mathématiques, aussi bien dans leurs rapports avec les enseignants qu’avec les autres chercheurs. Le principal intérêt n’était pas tant de répondre de façon définitive à des questions, que d’apprendre à poser celles qui sont susceptibles d’être confrontées à la contingence, et de se prémunir contre les inférences douteuses[3].

C’est pour maintenir la culture technologique du COREM au meilleur niveau, à une époque où les moyens scientifiques, techniques et matériels de l’analyse statistique évoluaient très vite, qu’a été conçue durant cette période la collection « méthodes d’analyse quantitative en Didactique des Mathématiques »[4].

Pour que l’usage des statistiques dans la Recherche en Didactique des Mathématiques ne reste pas cantonné dans le seul rôle de « juge de paix » final, il fallait qu’il puisse s’insérer au cœur même du processus des recherches de façon fluide et adéquate. Les étudiants et les enseignants apprenaient entre autres :

-          à poser des questions « décidables » par une étude statistique ;

-          à se servir, mais aussi à se méfier des arguments statistiques ;

-          à apprécier le prix supplémentaire qu’il faudrait payer pour une conviction plus sûre ;

-          à considérer et à insérer un résultat d’observation dans une problématique de recherche.

Les statistiques non paramétriques[5] sont incomparables dans ce rôle. Adaptées à nos petits échantillons d’élèves (par définition non représentatifs d’une population parente), elles sont applicables à plusieurs reprises avec peut être des résultats différents. Elles accompagnaient, sans trop la contraindre, l’exploration du vaste territoire que la Didactique des Mathématiques ouvrait devant nous.

2) Des moyens de l’acculturation d’une petite communauté composite à un chapitre exubérant de la science mathématique :

Il fallait replacer cet ensemble de méthodes et de concepts de Statistique dans un panorama culturel intelligible par l’ensemble des membres du COREM et en même temps adapté aux usages précis qu’ils en feraient.

Il était aussi préférable que l’exposé de ces « savoirs » s’inspire des principes de la théorie des situations, autrement dit qu’il illustre un processus de mathématisation. Ainsi les différents concepts devaient être générés par une suite de situations et de projets, chacune répondant à la question précédente et posant les conditions à satisfaire par la suivante, de façon à produire une genèse des différents concepts et méthodes présentés.

Chaque épisode devait pouvoir s’adresser en même temps à tous les types de collaborateurs du COREM, en ménageant à chacun un moyen de comprendre l’essentiel et de tirer parti des ressources des autres. Les séances de conception, d’observation et d’analyse des situations expérimentales réunissaient des personnels aux formations diverses (enseignants du niveau scolaire, conseillers-ressources en mathématiques, observateurs de spécialités variées). Les textes composites permettaient l’exercice d’une culture complémentaire commune. Il s’agissait là d’un exercice de transposition didactique en direction d’une communauté précise.

L’ambition didactique était de fournir à des instituteurs et à des professeurs de collège un même texte mathématique de référence, qui permette de concourir à une connaissance de base des statistiques, qui ne soit ni prisonnière de la formation mathématique ultérieure, ni contradictoire avec elle : « les Stratégies de l’analyse statistique »[6].

Cette synthèse, fondée sur la théorie de la mesure, entrait en compétition avec l’organisation générale de l’enseignement des mathématiques en usage dans les universités, où les mathématiciens utilisaient souvent ces enseignements « mineurs » comme des opportunités de faire progresser des secteurs plus « mathématiques » : la combinatoire, la théorie des probabilités, la convergence stochastique, suites sommables, etc.

3) Une transposition didactique spécifique en vue de l’introduction dès l’école primaire de la statistique et de la mesure des événements :

La formation des futurs enseignants du primaire est le point nodal du projet. Mais toutes sortes d’obstacles se dressent contre la présence d’une véritable initiation à la statistique à l’école  primaire :

-          les origines très variés des étudiants issus de toutes sortes de formations universitaires dont certaines sont négligentes ou mêmes suspicieuses à l’égard des statistiques ;

-          les préventions socio-philosophico-politiques – fondées ou non – contre l’usage des statistiques dans les débats de société ;

-          les conceptions pédagogiques et didactiques classiques, etc.

Pourtant l’importance du rôle des statistiques dans tous les secteurs de l’activité de la société et notamment des entreprises, justifie que l’on se pose la question de son enseignement le plus tôt possible dans la scolarité commune, non pas comme base d’études mathématiques ultérieures, mais comme connaissances. Mais les tentatives de l’époque suivaient le modèle courant : initier les élèves à l’usage des notions arithmétiques traditionnelles dans un environnement statistique (dénombrements, comparaisons, calculs élémentaires, fractions, etc.)

Les deux documents destinés à la formation des professeurs d’école sont des ébauches pour illustrer les principales raisons professionnelles de s’intéresser à la Statistique :

-          1) Une étude de la « situation fondamentale des statistiques et des probabilités » expérimentée au cours moyen  (« 31 leçons ») leur montrait comment leurs élèves pouvaient accéder rapidement à une connaissance avancée de la Statistique et des Probabilités, quelles difficultés ils rencontraient et comment ils les avaient surmontées. Cette étude pouvait servir de fondement à leur propre approche culturelle et scientifique : analyser une genèse non probabiliste, justifier les résistances « rationalistes » des élèves et comprendre les réponses qui leur sont proposées par l’expérience menée au CM2 : « combien de boules blanches dans cette bouteille ?

Les élèves-professeurs peuvent ainsi comprendre la possibilité de faire découvrir aux élèves les bases de l’analyse statistiques dans une perspective rationnelle compatible avec leur développement, c’est-à-dire sans faire appel à une rhétorique philosophiques fondée sur « le hasard » à propos d’une expérience unique reproductible ou non : comprendre comment faire découvrir « la convergence en probabilité », le principe de l’intervalle de confiance et du test d’hypothèse ; découvrir la mesure des événements ; et enfin seulement le calcul des fréquences limites (probabilités) dans des suites d’expériences « aléatoires ».

-          2)  Sous forme de cours, « Statistique pour les élèves professeurs » es