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Oeuvres de L. FĂ©lix

Vendredi 14 dĂ©cembre 2012   

Notions de mesures et nombres réels Lucienne Felix  1970

Résumé : L’ouvrage est composé de deux parties :

Dans la première, l’auteure introduit les notions de mesure d’ensembles, d’aires et de volume avec utilisant un langage formel moderne supposé « déjà-là ». Elle peut ainsi entrer directement  dans des « situations concrètes » pour justifier des propriétés et des définitions qu’elle réorganisera et n’exposera qu’au chapitre 4. Elle applique ici les enseignements didactiques de Lebesgue qui aimait fonder ses critiques de certaines conceptions classiques de l’intégration sur des considérations pratiques comme l’approximation de la longueur d’une route ou des techniques de comptabilité… Se réclamant d’une position épistémologique proche de celle des physiciens Lucienne Félix introduit des éléments généraux sur des mesures d’ensembles de dimension 1 ou 2 (Ch. 2). Ensuite elle aborde la question de la détermination effective des aires et des volumes, par décomposition finie puis par la méthode d’exhaustion sur plusieurs exemples classiques mais judicieusement choisis pour introduire des notions sur deux conceptions de l’intégration, celle de Riemann et celle de Lebesgue (Ch.3). Le chapitre 4 montre une petite visite aux intégrales multiples et curvilignes et même une allusion aux probabilités, mesures d’événements que Kolmogorov venait d’intégrer à la théorie de la mesure et en annexe deux petits ours, nouveaux dans la ménagerie de l’époque l’ensemble triadique de Cantor, la courbe de Peano, accompagnant un très vieil ours, une démonstration géométrique de l’irrationalité de Ö2.

La deuxième partie est une étude aujourd’hui très classique, en deux parties : les opérations dans les  réels absolus, et l’ensemble des réels relatifs dans leur approche par les décimaux (autre choix didactique fortement recommandé par Lebesgue).

Mots clés : Mesure ; nombres réels ; nombres décimaux ; formation des professeurs ; méthodologie de l’enseignement.

Titre de l’article : Notions de mesures et nombres réels

Auteur et laboratoire à l’époque de la publication : Lucienne Félix, agrégée de l’Université
Nombre de pages : 107
Nature du texte : texte de valorisation ; cours ; manuel
Collection : Enseignement moderne des mathématiques au niveau du second degré

Langue du texte : Français

Diffusion : nationale

Publication : ouvrage

Date de publication : 1970

Ouvrage : Not ions de mesures et nombres réels

Pour exposer un Problème fondamental : Explorer, Expliquer avant d’Exposer

Editeur : Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris.

Référence  de la publication : L. FELIX (1970) Notions de mesures et nombres réels ; Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris.

Commentaires à propos de l’ouvrage de L. Félix : Notion de Mesures et Nombres Réels[1]

C’est avec un grand plaisir et une émotion certaine que je propose aujourd’hui à la réflexion des amateurs de Didactique des Mathématiques, l’ouvrage que Lucienne Félix publia en 1970, à l’intention des professeurs du second degré, pour « introduire un problème fondamental : Explorer, expliquer, avant d’exposer les notions de mesure et de nombres réels ».
Cette publication veut être une source de réflexion à partir de laquelle ils pourront créer leur propre enseignement. Elle est typique des travaux didactiques de cette époque. L’auteure s’adresse à des professeurs de culture classique et ne veut pas le faire sur le modèle d’un cours classique de mathématique (axiomes, définitions, théorèmes, démonstrations). Elle veut présenter des perspectives modernes sur des concepts connus et les illustrer dans des contextes et par des situations proches de celles que pourrait explorer sans les définir un professeur avec ses élèves.

L’ouvrage est composé de deux parties : Dans la première, l’auteure introduit les notions de mesure d’ensembles, d’aires et de volume avec utilisant un langage formel moderne supposé « déjà-là ». Elle peut ainsi entrer directement  dans des « situations concrètes » pour justifier des propriétés et des définitions qu’elle réorganisera et n’exposera qu’au chapitre 4. Elle applique ici les enseignements didactiques de Lebesgue qui aimait fonder ses critiques de certaines conceptions classiques de l’intégration sur des considérations pratiques comme l’approximation de la longueur d’une route ou des techniques de comptabilité…

Permettre aux élèves, aussi souvent que possible, de comprendre et de justifier l’usage et l’expression d’un concept nouveau et placer les débats mathématiques qui le fondent avant sa réorganisation axiomatique et son exposition canonique est un projet fondamental de la théorie des situations mathématiques (on sous entend « à usage didactique » mais quel compte rendu de recherches qui ne serait pas didactique serait accepté ?).

Ce projet n’était pas compris à l’époque. Dans son compte rendu du livre[2], J. Štulc prend ses distances : « L’auteur utilise des mots, tels que par exemple la courbe, la limite etc., sans les définir, supposant une connaissance parfaite et précise de ces expressions de la part de lecteur ». Il n’est d’ailleurs pas sûr qu’il soit mieux accepté aujourd’hui.

Se réclamant d’une position épistémologique proche de celle des physiciens Lucienne Félix introduit des éléments généraux sur des mesures d’ensembles de dimension 1 ou 2 (Ch. 2). Ensuite elle aborde la question de la détermination effective des aires et des volumes, par décomposition finie puis par la méthode d’exhaustion sur plusieurs exemples classiques mais judicieusement choisis pour introduire des notions sur deux conceptions de l’intégration, celle de Riemann et celle de Lebesgue (Ch.3).

Le chapitre 4 montre une petite visite aux intégrales multiples et curvilignes et même une allusion aux probabilités, mesures d’évènements que Kolmogorov venait d’intégrer à la théorie de la mesure et en annexe deux petits ours, nouveaux dans la ménagerie de l’époque l’ensemble triadique de Cantor, la courbe de Peano, accompagnant un très vieil ours, une démonstration géométrique de l’irrationalité de Ö2.

La deuxième partie est une étude aujourd’hui très classique, en deux parties : les opérations dans les  réels absolus, et l’ensemble des réels relatifs dans leur approche par les décimaux (autre choix didactique fortement recommandé par Lebesgue).

J’ai d’autant plus de plaisir à présenter cet ouvrage qu’il me rappelle une période précise de ma vie, au moment où se forgeait le concept de « situations mathématiques » avec ses illustrations pour tous les grands secteurs des mathématiques de la scolarité commune à tous les enfants (5-14 ans à l’époque).  Depuis 1961, soutenu par mes conversations avec Lucienne Félix, je ferraillais à l’université pour comprendre la théorie de la mesure sous la direction de Jean Colmez, à absorber l’afflux des informations savantes véhiculées par la CEIAEM, et à construire, selon des principes pédagogiques et didactiques de ma façon, un curriculum moderne d’enseignement des fondements des mathématiques à l’école primaire au cœur desquels se trouvaient les notions de mesure et de nombres. La première page est un clin d’œil à mon livre de 1964[3] et à notre ouvrage didactique commun pour l’école maternelle[4] (1967-1972). Le dernier chapitre est le b.a. ba du sujet des futures expériences du COREM (1973-1999) sur les « Rationnels et Décimaux » (1986). Et déjà je critiquais – ce qu’elle acceptait bien volontiers, son introduction de la mesure d’évènements avec l’exemple d’un jeu de hasard.

Les conceptions didactiques et mathématiques de Lucienne Félix vont se montrer plus fermement et plus clairement dans les «  dialogues sur la géométrie, Dessi Mati Logi » qu’elle publiera l’année suivante.

Octobre 2013   GB.

Lire ou télécharger Notions de mesures et nombres réels


[1] Lucienne FĂ©lix, Notion de Mesures et Nombres RĂ©els, Librairie Scientifique Albert Blanchard, 1970

[2] « Cette publication est adressée aux maîtres avec le but de leur servir comme une source de réflexion à partir de laquelle ils pourront créer leur propre enseignement. L’auteur utilise des mots, tels que par exemple la courbe, la limite, etc., sans les définir, supposant une connaissance parfaite et précise de ces expressions de la part de lecteur. Dans la première partie de son travail l’auteur détermine l’ensemble des nombres réels et les opérations dans cet ensemble, sur la base de la mesure (longueur) de l’intervalle [0,1], et de la généralisation de cette mesure sur les intersections et les réunions des intervalles. Les mesures multidimensionnelles sont déterminées sur la base du replacement des intervalles par des carrés, des courbes, etc.  L’auteur présente une explication de deux méthodes différentes pour la détermination de la mesure multidimensionnelle: la méthode de décomposition finie et la méthode d’exhaustion. Dans la dernière partie l’auteur s’occupe de démontrer la définition de la mesure par les intégrales (les mesures n-dimensionnelles et p-dimensionnelles (p<n) dans l’espace n-dimensionnel). Dans la dernière partie l’auteur étudie l’ensemble des décimaux et les opérations algébriques. J. Štulc

[3] Guy Brousseau, 1965, Les mathématiques du cours Préparatoire, Dunod

[4] G. Brousseau, Y. Lamoureux, J. Marinières, L. Félix, 1972, Mathématique et thèmes d’activités, préparations et commentaires,  Classiques Hachette

La notion de fonction dans l’enseignement élémentaire

article

Cahier de liaison du Centre de Recherche pour l’enseignement des Mathématiques,

bulletin n° 3 (février 1967) ; CRDP Bordeaux.

Pour lire ou télécharger la notion de fonction 1967


Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire 1991

Résumé Dans la première partie de ce texte, Lucienne Félix étudie les éléments qui peuvent apparaître dans l’étude d’un quadrilatère convexe et les conditions d’inscriptibilité. Elle en tire dix démonstrations différentes du théorème de Ptolémée

Dans la deuxième partie elle nous livre ses rĂ©flexions sur ces dix dĂ©monstrations, sur leurs rĂ©ciproques et sur leurs modes de dĂ©monstration. Elle conclut que certes la gĂ©omĂ©trie cartĂ©sienne permettrait de rĂ©soudre ce problème sans mĂŞme avoir Ă  s’interroger sur sa singularitĂ©, mais que l’étude de situations ou de thĂ©ories particulières prĂ©sente un grand intĂ©rĂŞt, au moins didactique…  En s’appuyant sur une courte note historique la troisième partie dĂ©gage les Ă©lĂ©ments fondamentaux qui peuvent faire d’une collection de dĂ©monstrations une situation mathĂ©matique. L’auteur conclut : « Une Ă©vidence s’impose lorsqu’on fait l’effort de mise au point d’un texte mathĂ©matique : il y a un va-et-vient entre la technique qui exploite, par la logique, les propriĂ©tĂ©s de la situation mathĂ©matique proposĂ©e dans I’hypothèse et, d’autre part, I’appel Ă  l’imagination qui, en confrontant les conclusions possibles aux hypothèse, trouve les voies Ă  parcourir pour atteindre le but. L’Art dirige et complète la technique ».

Dans un deuxième texte très court, sur un autre problème de géométrie, l’auteur applique intégralement la même méthode d’étude des propriétés didactiques d’une situation mathématique et délivre quelques considérations didactiques plus lapidaires mais aussi judicieuses que percutantes.

Mots clés : Didactique des mathématiques, Géométrie élémentaire, théorème de Ptolémée,

Titre de l’ouvrage. Une aperçu des méthodes en géométrie élémentaire
auteur : Lucienne FĂ©lix
Préface de Guy Brousseau

Langue du texte Français
Nombre de pages : 75
Nature du texte RĂ©flexions didactiques
Publication : Brochure de l’IREM de Bordeaux
Date de publication 1991
Référence  de la publication
Commentaires.
Cette étude est le résultat d’une discussion récurrente entre l’auteur et son préfacier sur la notion de situation mathématique. Lucienne Félix a voulu montrer les ressources didactiques de l’étude classique d’une « situation mathématique », au sens d’un ensemble d’objets et de relations mathématiques disponibles pour établir une formule donnée. Elle explicite les techniques et les commente en référence à des approches théoriques différentes et elle entame le débat sur les méthodes de choix disponibles à l’époque. Elle approche le point nodal du débat lorsqu’elle oppose la géométrie élémentaire et la géométrie euclidienne qui banalise la question du théorème de Ptolémée et sa solution : la justification du maintien d’un ensemble de questions et de moyens. L’autre partie du débat, celle où le préfacier devait montrer comment, à son sens, une situation devait aussi faire apparaître des raisons (ou des motifs) de s’intéresser à cette configuration de relations n’a pas été achevée. Peut-on construire un ensemble de conditions qui feront apparaître l’intérêt et la nécessité de s’assurer de la validité de cette relation…  Comment générer une filiation poïétique concevable par l’élève qui lui fasse envisager comme connaissances les éléments de savoir exposés dans ce texte ?
L’étude de Lucienne Félix était un nouveau point de départ dans un cheminement commencé de longue date et qui a tourné court…

Lire ou télécharger   Un Aperçu des méthodes en géométrie élémentaire

Du diagramme de Venn aux courbes de Peano, From Venn Diagrams to Peano Curves

article de Lucienne Félix (1970) et sa version Anglaise (sous l’onglet Lucienne Félix) From Venn Diagrams to Peano Curves  Des diagrammes de Venn  aux courbes de Peano  Lucienne Félix

publié en Anglais dans  » Mathematics Teaching, » the Bulletin of the Association of Teachers of Mathematics No. 50, Spring, 1970. et en Français, dans les Cahiers de l’enseignement élémentaire de l’IREM de Bordeaux n° 2   (1970)

Résumé .

Lucienne Félix commence par définir avec précision ce qu’elle appelle un Diagramme de Venn. Elle se réfère à la logique et précise qu’elle distinguera des « ensembles fondamentaux  et les ensembles engendrés par ces ensembles fondamentaux. Elle précise les conditions que doit satisfaire une représentation pour n ensembles fondamentaux. Il s’agit ensuite de déterminer une méthode qui permette de construire un diagramme de Venn comportant les régions déterminées par n+1 ensembles fondamentaux. Elle construit pour cela une ligne qui coupe en deux chacune des régions déterminées par les n ensembles générateurs. Elle construit une numérotation binaire des parties construites qui permettent de démontrer que cette ligne peut être fermée et qu’elle satisfait les conditions pour représenter les 2n+1 parties engendrées par n+1 générateurs. La disposition obtenue est celle d’un « diagramme en pavage» qui envahit le plan, ou qui au contraire fragmente une figure en pavés semblables de plus en plus petits (rectangles, triangles…).

Lucienne Félix s’intéresse alors au même problème : partager en deux toutes les parties d’une figure de rang n par une ligne fermée, mais cette ligne ne génère pas le pavage suivant (dont le nombre des régions est 3n+1). Cette ligne est une courbe de Peano qui, à la limite, atteint tous les points intérieurs de la figure de base.

Dans un dernier paragraphe Lucienne FĂ©lix met en perspective les contributions de Peano, de Hilbert et de Cantor Ă  ce sujet.

Commentaire

Cet article est typique de ceux que les mathĂ©maticiens aiment faire Ă  l’intention des professeurs :  une promenade agrĂ©able et un exemple d’aventures qu’ils suggĂ©raient aux enseignants d’organiser en parcours similaires pour leurs Ă©lèves.

Il  est rappelé dans le dossier sur « les ensembles à l’école primaire et les avatars du diagramme de Venn ». Il montre sur quelles bases mathématiques reposaient les réflexions pédagogiques du genre de celles qui font l’objet de dossier.

Ce texte n’était pas directement lisible par des instituteurs et il n’apportait guère aux professeurs de mathĂ©matiques au collège que l’occasion de « faire un peu de mathĂ©matiques intĂ©ressantes ». Les indications pĂ©dagogiques qu’ils pouvaient en tirer se bornaient Ă  voir le genre de dessins qui permettaient de reprĂ©senter des ensembles, cependant il ne disait pas Ă  quelle occasion – Ă  moins de prendre le texte lui-mĂŞme comme objet d’enseignement… !.

Pour lire ou télécharger Du diagramme de Venn aux courbes de Peano Du diagramme de Venn aux Courbes de Peano

To read or download From Venn Diagrams to Peano Curves from Venn Diagrams to Peano Curves

Quatre textes sur les mathématiques et leur enseignement

« Sur l’enseignement des mathĂ©matiques dans le second cycle du

secondaire »Â  (communication)

in  « JournĂ©es d’Ă©tudes  L’initiation aux mathĂ©matiques : problèmes psycho-pĂ©dagogiques ». PubliĂ© par le Ministère de l’Instruction Publique.

JournĂ©es pĂ©dagogiques franco-belge : 9 – 10 – 11  fĂ©vrier  1959  Bruxelles  1959     lire ou tĂ©lĂ©charger  Sur l’enseignement des mathĂ©matiques dans le second cycle

« L’unitĂ© des mathĂ©matiques »

in  « International revue of Ă©ducation »Â  vol. VII  1961

Revue internationale de pĂ©dagogie (Congrès Montessori) n° 2  (pp. 165 – 173)    lire ou tĂ©lĂ©charger L’unitĂ© des mathĂ©matiques

« Modernisation de l’enseignement mathĂ©matique en France »

in  « Bulletin de la sociĂ©tĂ© Franco-japonaise des Sciences Pures et AppliquĂ©es » n° 17  aoĂ»t  1970 (pp. 50-73)     lire ou tĂ©lĂ©charger La Modernisation de l’enseignement mathĂ©matique en France

 » Henry Lebesgue, l’enseignement et la didactique des mathĂ©matiques »

manuscrit d’un texte non publiĂ©, 1990, 15 pages            lire ou tĂ©lĂ©charger  Henri Lebesgue, l’enseignement et la didactique des mathĂ©matiques